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Potenze

Il massimo comun divisore ha un suo... simile, che già tutti conoscete dalle scuole elementari e medie. Di cosa si tratta? Eh, ve lo dirò, tempo al tempo! Ma intanto, per introdurlo, è necessaria questa lezione su qualcosa che, allo stesso modo, tutti avete sentito nominare almeno una volta: la potenza di un numero.


Potenza di un intero

In N, avevamo definito la moltiplicazione come somma ripetuta; anche la moltiplicazione in Z, abbiamo visto, può essere ricondotta alla moltiplicazione fra naturali perché la moltiplicazione fra positivi si comporta come la moltipicazione in N e anche quando entrano in gioco i numeri negativi possiamo comunque unirci a quelli grazie alle regole dei segni. Ma ora ci chiediamo... e allora una moltiplicazione ripetuta? Cosa sarebbe una moltiplicazione ripetuta? Be', se per un'addizione ripetuta abbiamo introdotto una nuova notazione, nulla ci vieta di introdurre una nuova notazione anche per una moltiplicazione ripetuta. Chiamiamo quindi potenza di un intero a rispetto ad un determinato naturale n, e la indichiamo con an, il prodotto di a con sé stesso per n volte:

Il che vuol dire, ad esempio, che 23 = 2 · 2 · 2, ovvero 2 moltiplicato per sè stesso 3 volte... che fa 8. Dunque23 = 8; ugualmente, (-3)4 = (-3) · (-3) · (-3) · (-3) = 9 · (-3) · (-3) = -9 · (-27) = 81. Il numero a si chiama base della potenza, il numero n si chiama esponente. È evidente che se l'esponente è 3 allora nella moltiplicazione di a con sé stesso ci sono 3 fattori, se è 2 ci sono 2 fattori... e se è 1 c'è un solo fattore, che è a stesso. Quindi a1 = a, per ogni a. In accordo con una proprietà delle potenze che però vedremo in seguito, inoltre, di pone che a0 = 1.


Proprietà delle potenze

Le potenze, come quasi tutti gli oggetti matematici, godono di alcune proprietà che gli attenti matematici si sono apprestati a dimostrare solertemente:

am · an = am + n

Ovvero, il prodotto di due potenze con la stessa base è una potenza che per base ha la stessa base, e per esponente la somma degli esponenti. Questo è facilmente dimostrabile perché am è uguale ad a · a · ... · a, il tutto per "m volte"; invece an è a · a · ... · a, ma stavola per "n volte". Moltiplicare i due numeri vuol dire moltipliare gli m fattori di am con gli fattori di an, ottenendo quindi un nuovo prodotto composto sempre e solo da "a" (ecco perché la base resta la stessa), ma stavolta il numero dei fattori è m + n; per definizione di potenza, quindi, quel prodotto equivale ad am + n e la prorpietà è dimostrata.

(am)n = am · n

Il che vuol dire che se una potenza di base a ed esponente m è la base di un'altra potenza il cui esponente è n (una "potenza di potenza"), allora il risultato è una potenza che per base ha la stessa base della prima potenza, e per esponente il prodotto dei due esponenti m ed n. Infatti (am)n, per definizione di potenza, equivale a am · am · am · ... · am, il tutto per "n volte". Ma per le proprietà delle potenze il prodotto di potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base, e per esponente la somma degli esponenti; quindi questo prodotto è uguale ad am + m + m + ... + m, dove m è sommato con sé stesso un numero di volte pari ad n; quindi, essendo questa una somma ripetuta, per definizione di moltiplicazione si ha che questo è uguale ad am · n, dimostrando così la proprietà.

Inoltre l'esponente di una potenza si distribuisce ai fattori di un prodotto, ovvero:

(xy)n = xn · yn

Questo perché la prima espressione corrisponde al prodotto xy · xy · ... · xy per n volte, in cui ovviamente la x e la y compaiono a fattore anch'esse n volte. Quindi per la commutatività e l'associatività della moltiplicazione si ha x · x · x · ... · x · y · y · ... · y, in cui x e y compaiono appunto n volte. Quindi associamo come (x · x · x · ... · x) · (y · y · ... · y), e per definizione di potenza otteniamo xn · yn.


Potenza di un binomio

Fra le varie proprietà delle potenze, ce n'è una che ha particolare importanza per il suo... frequentissimo utilizzo: la potenza del binomio, ovvero la proprietà riguardante lo sviluppo dell'espressione (a + b)n. Si potrebbe pensare, intuitivamente, che il risultato sia an + bn, ma NON è affatto così! Un controesempio ce ne dà conto, perché (1 + 4)3 = 53 = 125, ma 13 + 43 = 1 + 64 = 65. Ma allora... come possiamo scrivere in altro modo l'espressione (a + b)n, sempre che un modo esista? Be'.. esiste, esiste, e possiamo facilmente ricavarlo. Tuttavia, prima di poterlo fare, è necessario introdurre qualche concetto preliminare.

Si dice fattoriale di un numero naturale n (e si indica con n!) quel numero che si ottiene moltiplicando n per tutti i suoi precedenti, fino ad 1:

n! = n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 2 · 1

Dunque ad esempio 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120: per definizione, poi, si pone 0! = 1; ma... per quale motivo introdurre un simile concetto? Fondamentalmente, il fattoriale ha un sacco di applicazioni nella vita quotidiana, specialmente quando si tratta di calcolare le possibili combinazioni di qualche evento. Ad esempio, infatti, supponiamo di avere un sacchetto di 10 palline tutte diverse fra loro: estraendole una ad una, l'una dopo l'altra, in quanti possibili modi possono succedersi le diverse palline? Quando effettuiamo la prima estrazione abbiamo dieci possibilità, perché possiamo indifferentemente pescare una delle dieci sfere; però quando estraiamo la seconda le possibilità divengono 9, perché una è già stata estratta e dunque nel sacchetto ce n'è una di meno; estratta la seconda le possibilità diminuiscono ancora, per la stessa ragione, a 8, e così via, fino ad 1 (ultima pallina restante nel sacchetto). Dunque le possibili combinazioni di palline sono 10 · 9 · 8 · ... · 1, ovvero 10! (10 fattoriale). Il numero è davvero molto alto, vale 3.628.800, nientemeno!

Ma supponiamo che delle 10 palline se ne estraggano solamente 4: quante sono le possibili combinazioni che possono uscire estraendo casualmente 4 delle 10 palline di quel sacchetto? Per le stesse considerazioni di prima, per la prima pescata abbiamo 10 diverse possibilità, 9 per la seconda, 8 per la terza e 7 per la quarta. Dunque le possibilità sono 10 · 9 · 8 · 7. Perciò se abbiamo n oggetti, e vogliamo scoprire quante combinazioni otterremmo estraendo k oggetti, otteniamo n possibilità per il primo elemento, n - 1 per il secondo, n - 2 per il terzo... e così via fino all'elemento numero k, per cui abbiamo n - k + 1 possibilità. Infatti per il quarto elemento, l'ultimo nell'estrazione di 4 (k) palline dal sacchetto di 10 (n), le possibilità sono n - k + 1 = 10 - 4 + 1 = 6 + 1 = 7.

Avviciniamoci adesso al motivo per cui abbiamo definito una simile formula, con un problema più strettamente matematico: dato un insieme A con n elementi, e scelto un numero k più piccolo di n, quanti sono i sottoinsiemi di A che contengono k elementi? Per fare ciò, prendiamo un qualsiasi elemento di A: abbiamo n possibilità per sceglierne uno; scelto questo, per il secondo le possibilità sono solo k - 1 e così via, per l'osservazione precedente, per scegliere il k-esimo elemento avremo n - k + 1 possibilità. Dunque, ancora, le varie possibilità di scegliere k elementi dall'insieme A che ne contiene n sono n · (n - 1) · (n - 2) · ... · (n - k + 1). Però... questo numero rispecchia il numero di sottoinsiemi dell'insieme A che contengono k elementi? Con questo procedimento otteniamo un numero che rappresenta il numero di combinazioni con cui possiamo estrarre k elementi da un insieme che ne ha n, ma certi sottoinsiemi sono ripetuti più volte: infatti, lo stesso sottoinsieme comparirà più volte fra le possibilità a seconda dell'ordine con cui abbiamo estratto gli elementi; questo però a noi non importa saperlo, perché tanto in un insieme non importa l'ordine degli elementi. Per cui, guardiamo all'insieme con 10 palline: conteneva 10 (n) elementi, e avevamo ottenuto 10! combinazioni: il che vuol dire che un insieme con 10 elementi ha 10! diverse combinazioni di questi stessi, che però a noi non importano perché l'insieme in sé è comunque uno solo perché si prescinde dall'ordine. Ma quindi anche i nostri sottoinsiemi con k elementi compariranno ciascuno k! volte, a seconda dell'ordine in cui gli elementi sono considerati. Per togliere questi "doppioni" ci basta dunque dividere il numero che avevamo trovato per k!, ottenendo perciò [n · (n - 1) · (n - 2) · ... · (n - k + 1)]/k!. Questo numero lo chiamiamo coefficiente binomiale, indichiamo così:

Notiamo che dall'espressione troviamo scritto che il nostro coefficiente binomiale è uguale anche a n!/[k! · (n - k)!]. Il che è vero perché, per definizione di fattoriale, si ha che il tutto è [n · (n - 1) · (n - 2) · ... · 1]/{[k · (k - 1) · (k - 2) · ... · 1] · [(n - k) · (n - k - 1) · (n - k · 2) · ... · 1]}. Poiché n - k è minore di n, il suo fattoriale è contenuto in quello di n, e dunque tutti i fattori (n - k) · (n - k - 1) · (n - k · 2) · ... · 1 si elidono con quelli presenti a numeratore in n!: infatti n! comprende n moltiplicato per tutti i numeri che lo precedono, fra cui ci sarà anche n + k - 1; il suo precedente è n - k, ma da qui in poi tutti i precedenti sono n - k - 1, n - k - 2, ..., che si trovano anche al denominatore nello sviluppo di (n - k)!, per cui si semplificano fra loro. Al numeratore restano dunque i prodotti di n per i suoi precedenti fino a n + k - 1, e al denominatore sopravvive solo lo sviluppo di k!: quindi il tutto è uguale al coefficiente binomiale da cui eravamo partiti, ovvero [n · (n - 1) · (n - 2) · ... · (n - k + 1)]/k!.

Ebbene... tutta questa digressione ci è servita perché i coefficienti binomiali, guarda un po', spuntano fuori nella formula dello sviluppo della potenza di un binomio. Infatti in generale (a + b)n = (a + b) · (a + b) · ... · (a + b), in cui il fattore a + b appare moltiplicato per sé stesso n-volte, per definizione di potenza. Se svolgessimo i vari prodotti otterremmo ovviamente delle potenze di a e b con diversi esponenti, seguiti da dei coefficienti. Infatti ad esempio (a + b)2 = (a + b) · (a + b), e applicando la distributività del prodotto si ha (a + b) · a + (a + b) · b, da cui, applicandola ancora, a2 + ba + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. Notando che x0 = 1 come detto all'inizio, si ha che a2 + 2ab + b2 = a2 · 1 + 2ab + b2 · 1 = a2b0 + 2a1b1 + b2a0. Dunque da qui si vede subito che lo sviluppo, quando n = 2, è una somma di fattori che contengono ciascuno a e b, a diversi esponenti, moltiplicato per qualche numero... che indica quante volte ciascuno di essi compariva nello sviluppo della potenza: infatti 2ab ha come coefficiente "2" perché nello sviluppo il termine "ab" compariva due volte (una volta come ab e una come ba), per cui sommandoli fra di loro otteniamo ab. Dal momento che, inoltre, moltiplicavamo (a + b) n-volte per sé stesso, ogni addendo nello sviluppo conterrà n fattori, più il coefficiente: infatti ad esempio a2 e b2 contengono ciascuno due fattori (a · a, e b · b), e anche 2ab contiene due fattori, escluso il coefficiente (e i fattori sono a1b1). Dunque se in un addendo il fattore b compare per k volte, allora il fattore a compare per (n - k) volte: infatti poi k + (n - k) = k + n - k = n. Ma allora quante volte nello sviluppo di un binomio comparirà il fattore che ha b elevato alla k-esima potenza? Equivale ovviamente al numero delle combinazioni per le quali possiamo scegliere, fra gli n fattori di (a + b) per sé stesso, k-volte il fattore b. Infatti, per tornare all'esempio di (a + b)2, quante volte compare il fattore con la b ad esponente 1 nello sviluppo? Notiamo che l'esponente di (a + b) è 2, quindi ogni addendo delo sviluppo avrà n fattori (eccetto il coefficiente), e dunque se b ha esponente 1 allora lo ha anche a (perché così 1 + 1 = 2), e dunque stiamo considerando quante volte il prodotto ab compare nello sviluppo finale. Avendo a disposizione (a + b)2 = (a + b) · (a + b), ovvero due fattori in cui appunto la a compare due volte e la b pure, quante combinazioni abbiamo, dati n fattori, di scegliere la b da essi per k volte? Il numero n dei fattori è 2, il numero k è 1: quindi per la notazione di coefficiente binomiale questo equivale a svolgere 2!/[1! · (2 - 1)!] = 2/(1 · 1) = 2/1 = 2. Dunque il fattore ab compare due volte ed ecco perché nello sviluppo ab ha coefficiente 2.

In generale, quindi, se abbiamo (a + b)n, se a ha esponente k b non può che avere come esponente n - k. Dunque un generico fattore è akbn - k. Il suo coefficiente è dato dalle combinazioni di poter scegliere dagli n fattori k volte l'elemento a (che dunque comparirà k volte a fattore, mentre per forza di cose b comparirà n - k volte), e dunque questo è, per definizione, il coefficiente binomiale di n e k. Tutto questo può essere sintetizzato nella seguente formula:

Quello "strano simbolo" è il simbolo di sommatoria, la cui definizione e il cui funzionamento sono spiegati nel riquadro a lato. Una volta che lo avete visto, saprete leggerlo benissimamente: si parte da k = 0, ovvero dal fattore anb0 = an. Il fattore an comparirà n!/[k! · (n - k)!] = n!/[0! · (n - 0)!] = n!/(1 · n!) = n!/n! = 1. Dunque il primo termine della somma è 1an = an. Si passa ora a k = 1, dunque al termine an - kbk = an - 1b1 = an - 1b; il suo coefficiente è n!/[k! · (n - k)!] = n!/[1! · (n - 1)!] = [n · (n - 1)!]/[1 · (n - 1)!] = [n · (n - 1)!]/(n - 1)! = n. Perciò il secondo addendo della somma finale è n · an - 1b, e così via, fino a k = n: a quel punto avremo finito gli addendi e lo sviluppo in somma sarà completato. Applicando questi risultati alle potenze di binomio con esponente 2 e 3 (certamente le più usate), si ottengono queste utilissime formule:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

La sommatoria, questa sconosciuta!


"Cos'è quello stranissimo simbolo che appare nelle formule più in basso... e che potete vedere anche qui sopra? Be', si tratta del simbolo di sommatoria: il quale, con la massima semplicità, indica semplicemente un'addizione di diversi termini.

Quel simbolo deriva direttamente dalla vostra storia: è la lettera "sigma" maiuscola dall'alfabeto greco, iniziale di "somma" in greco antico; però... come funziona? E a che serve? Come si usa, e come si legge? La risposta a queste domande è più semplice di quello che si pensi: nel simbolo di sommatoria compaiono in basso e in alto dei valori: in basso c'è una lettera uguagliata a qualche valore, in alto c'è un altro numero; a destra del simbolo di sommatoria c'è un'espressione contentente la lettera che appariva sotto il simbolo. Ebbene, in soldoni, si tratta di prendere quest'espressione, e, partendo dal valore indicato sotto il simbolo, sostituire alla lettera tutti i valori compresi fra questo e il numero che si trova sopra il simbolo; una volta sostituito il valore avremo ottenuto un tot di espressioni, che adesso sommeremo tutte fra loro: la loro somma è anche il risultato della sommatoria. Dunque ad esempio cosa vuole dire la sommatoria che sta qui sopra, nel foglio? Indica che, in 2m + m, dobbiamo sostituire alla m tutti i valori compresi fra 0 e 9; otterremo dunque 20 + 0, 21 + 1, 22 + 2, eccetera, fino a 29 + 9; ovvero 1, 3, 6, ..., fino a 521. Sommiamo tutti questi numeri e avremo trovato il risultato della sommatoria.

Insomma, nulla di trascendentale: semplicemente un modo abbreviato di scrivere una somma di vari termini!"

—Empty Set

Esercizi

Calcola il valore delle seguenti potenze:

- 122; 44; (-2)9.

Calcola, utilizzando le formule:

- (a + 2)2; (5 + b)3; (2x + 2y)2.

Calcola, utilizzando la formula definita tramite sommatoria con coefficiente binomiale, la seguente potenza:

- (a + b)7.