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Equazioni fratte in un'incognita

Tutte le equazioni che abbiamo visto e con cui abbiamo giocato alle lezioni precedenti erano tutte marcate dalla parola... intere: sì, perché, come era stato spiegato, in nessuna di quelle la x compariva mai a denominatore di qualche frazione. Ma se ciò succedesse, quale sarebbe la differenza? Be', per prima cosa non avremmo più davanti un'equazione intera, ma un'equazione fratta (o frazionaria) in un'incognita; secondo, ovviamente c'è un metodo lievemente differente per calcolarne il risultato!


Condizioni di esistenza di un'equazione fratta

Abbiamo detto che un'equazione fratta è un'equazione in cui la x compare in qualche denominatore. Dunque esempi di equazioni fratte possono essere i seguenti:

(x2 + 3x - 5)/x = 0

(x10 + 3x5 - x4 + 50x)/(x11 + x + 1) = 1 - x3

x/x = 1

Fin qui, tutto ok. Ma... c'è un "ma". Sì, perché a suo tempo avevamo detto che la divisione, di per sé, non è un'operazione: infatti la divisione fra a e b è definita come a moltiplicato per l'inverso di b. Ed è ovvio che, affinché una cosa del genere sia fattibile, è necessario che esista, l'inverso di b. Ma fin qui sembra filare liscio tutto come l'olio, perché le equazioni che stiamo considerando le stiamo considerando tutte per i numeri reali: R è un campo, e in un campo ogni elemento possiede inverso moltiplicativo. Ogni elemento... escluso lo 0. Nelle equazioni intere il problema non si poneva perché se mai ci fossero stati dei denominatori, la x non era lì: c'erano semplicemente dei numeri già diversi da 0 di per sé, dunque simili considerazioni non si facevano. Ma ora al denominatore appare la x, che può assumere qualsiasi valore: compresi dunque quelli che possono rendere nullo il denominatore, facendo perdere quindi di senso l'equazione perché ci ridurremmo ad una divisione per 0, che è appunto impossibile.

Dunque l'equazione fratta è caratterizzata dalla comparsa delle condizioni di esistenza, ovvero per prima cosa bisogna trovare quali sono i numeri che, sostituiti alla x, renderebbero 0 uno qualunque dei denominatori in cui essa compare; trovatili, li escludiamo, ovvero vuol dire che se uno di questi poi risultasse essere soluzione dell'equazione, andrebbe scartato. Possiamo quindi prendere come esempio l'equazione (x + 1)/(x - 2) = 5: c'è un denominatore in cui compare la x, ed è x- 2. Quando si annulla questo denominatore? Ovviamente per 2, infatti sostituendo 2 otterremmo 2 - 2 = 0. Dunque questo vuol dire che se, poi, risolvendo l'equazione con il metodo che adesso vedremo troveremo che 2 è una delle soluzioni, questa dovrà essere esclusa e non potrà essere considerata tale.

Quando si sono trovati i valori dai quali la x deve essere diversa affinché non si annulli alcun denominatore, si dice che si sono trovate le condizioni di esistenza dell'equazione fratta: la differenza principale con le equazioni intere sta sostanzialmente qui, perché la formula risolutiva resta quasi del tutto invariata!


Risoluzione delle equazioni fratte

Una volta determinate le condizioni di esistenza, risolvere l'equazione fratta è una bazzecola! Poniamo infatt di avere la stessa equazione che abbiamo considerato prima, ovvero (x + 1)/(x - 2) = 5. Abbiamo già visto che la x deve essere diversa da 2 affinché il tutto abbia un senso: ma allora adesso basta moltiplicare primo e secondo membro per x - 2, visto che ovviamente non modificheremo nulla moltiplicando ambo i membri per la stessa quantità. A primo membro avremo [(x + 1)/(x - 2)] · (x - 2), per cui x - 2 si semplifica e resta solo x + 1; a secondo membro otteniamo 5 · (x - 2) = 5x - 10. Allora la nostra equazione diviene x + 1 = 5x - 10, che è un'equazione lineare intera in un'incognita, che quindi possiamo risolvere e la cui soluzione è 11/4.

A questo punto entra in gioco il controllo delle soluzioni: 11/4 è diverso da 2, che era il valore che annullava il denominatore? Sì, e allora è un valore accettabile e l'equazione ha una soluzione, che è appunto 11/4. Se così non fosse stato, la nostra soluzione sarebbe stata scartata e, essendo rimasti senza, avremmo detto che l'equazione era impossibile. Le condizioni di esistenza, insomma, ci servono per fare una "selezione" delle soluzioni dell'equazione, una volta che le abbiamo trovate, per eliminare quelle che renderebbero nulli i denominatori e che dunque farebbero perdere di qualsiasi senso la nostra espressione!


Equazioni fratte con più denominatori contenenti l'incognita

L'equazione che stiamo considerando potrebbe anche avere più di un denominatore con la x al suo interno: ad esempio, potrebbe essere... la seguente:

(1/x) + 2/(x - 1) = 1

Anche in casi come questo, comunque, la prima cosa da fare è determinare le condizioni di esistenza dell'equazione: i denominatori contenenti l'incognita sono due, e sono x ed x - 1: il primo si annulla se x = 0, il secondo se x = 1; dunque possiamo riconrdarci del fatto che se mai una delle soluzioni dovesse coincidere con uno di questi due valori, allora questa andrebbe esclusa immediatamente. A questo punto, sommiamo le due frazioni con il metodo che avevamo descritto a suo tempo... appunto, per la somma tra frazioni. Ovvero calcoliamo il minimo comune multiplo fra i due denominatori, e questo sarà il denominatore della frazione somma delle due: il mcm(x, x - 1) è x · (x - 1), perché il minimo comune multiplo si calcolava scomponendo i due termini in fattori e prendendo quelli comuni e non comuni: ma sia x che x - 1 non possono essere scomposti in fattori di polinomi più semplici, in quanto il prodotto di due polinomi è un polinomio che ha per grado la somma dei gradi dei polinomi, e quindi se due polinomi hanno grado la cui somma deve essere 1, necessariamente uno deve essere di grado 1 e l'altro di grado 0, ovvero quest'ultimo deve essere un numero. Quindi i due polinomi sono già non ulteriormente scomponibili e dunque il loro mcm è uguale al loro prodotto, ovvero x · (x - 1). Adesso prendiamo questo prodotto, e dividiamolo per il primo dei due denominatori (x), ottenendo x - 1; ora moltiplichiamolo per il numeratore della stessa frazione, cioè 1, ottenendo x - 1 stesso. Adesso prendiao ancora il mcm, dividiamolo per il denominatore della seconda frazione (x - 1), ottenendo x, e moltiplichiamolo per il numeratore della stessa frazione, che è 2, ottenendo 2x. Sommiamo ora l'x - 1 trovato prima con questo 2x, e otterremo il numeratore della frazione somma, ovvero x - 1 + 2x = 3x - 1. Dunque la frazione somma delle due frazioni è (3x - 1)/[x · (x - 1)]. Perciò l'equazione diviene:

(3x - 1)/[x · (x - 1)] = 1

Ora le x compaiono in un unico denominatore, quindi ci siamo ricondotti al caso precedente e possiamo usare il procedimento di prima. Moltiplichiamo dunque primo e secondo membro per il denominatore della frazione, ovvero per x · (x - 1):

3x - 1 = 1 · x · (x - 1)

Ovvero:

Come si fa? Tanti metodi per una soluzione


"Spesso la matematica fa... paura, ma bisogna sempre avere in mente un principio fondamentale: non dimenticare mai cosa vogliono dire tutti i simboli che stiamo usando. Una volta vi dissi che la maggiore difficoltà può essere proprio l'elevato uso di simboli che caratterizza la materia, ma... superato questo scoglio, è tutto in discesa! Proviamo infatti a considerare l'equazione x/x = 1, che era pure negli esempi scritti a lato. Se la risolviamo secondo l'algoritmo appena spiegato, per prima cosa poniamo le condizioni di esistenza: l'unico denominatore è x, che deve essere diverso da 0: dunque 0 è l'unico numero che eventualmente escluderemo. Moltiplichiamo ora primo e secondo membro per x, ottenendo x a primo membro, e 1 · x, cioè pure x, anche a secondo membro. Dunque l'equazione si riduce a x = x, per cui portiamo a primo membro: x - x = 0, overo (1 - 1)x = 0, 0x = 0. Questa era la forma tipica dell'equazione indeterminata, che ha dunque come soluzione ogni numero reale. Ricordando però che lo 0 andava escluso, l'insieme delle soluzioni coincide con R - {0}, ovvero tutti i reali, 0 escluso.

Ma appunto... è l'unico modo di risolvere questa equazione? No! In fondo basta avere elasticità mentale: x/x è una frazione in cui numeratore e denominatore sono uguali: purché la frazione esista (e quindi se x è diverso da 0), è possibile dividere sopra e sotto per il massimo comun divisore fra i due (e il massimo comun divisore fra un numero e sé stesso è il numero stesso); dunque dividendo numeratore e denominatore per x si ottiene nell'equazione 1/1 = 1, ovvero 1 = 1. L'uguaglianza è dunque vera qualsiasi valore sostituiremmo alla x (è sempre vero che 1 = 1), dunque l'equazione è soddisfatta per ogni numero reale... eccetto però lo 0, perché, difatti, se la x fosse 0 la frazione non esisterebbe perché 0/0 non era definito. Insomma, la stessa soluzione di prima. E in più modi!"

—Empty Set

3x - 1 = x2 - x

Questa è un'equazione di secondo grado intera in un'incognita, dunque possiamo portarla in forma normale:

x2 - 4x + 1 = 0

Applicando la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado, otteniamo le due soluzioni 2 - √3 e 2 + √3: entrambe sono diverse sia da 0 che da 1, e dunque sono entrambe soluzioni dell'equazione.


Come si vede, insomma, la risoluzione di un'equazione fratta non è nulla di che: basta semplicemente determinare le condizioni di esistenza, e a quel punto occorre soltanto sommare le varie frazioni contenenti la x per far sì da averne una sola, in modo poi da moltiplicare ambo i membri per l'unico denominatore, così eliminando le frazioni: a quel punto si risolve l'equazione intera risultante con i metodi che già si conoscono, e alla fine si determina se le soluzioni trovate possono essere accettate oppure dovevano essere fra quelle escluse. Tutto qui, sì!

Esercizi

Risolvi le seguenti equazioni fratte:

(5x - 3)/(3x - 2) = 1
(x2 - 1)/(x + 1) = 1/x
x/(10x - 10) = 10
(-1)/(x2 + 5x + 5) = 1
1/x + 1/(x + 1) = 5
[(1/4)x2 + 1/4 + (1/2)x]/x = 0